看完了《數學教你不犯錯》，主題是數學思考與生活的關係。書中舉的第一個例子，是第二次世界大戰期間數學家沃德建議怎樣增加戰機的裝甲，沃德認為應該加固在發現彈孔數最少的引擎中，因為回來的飛機某部份彈孔多，顯示這個部位能夠承受攻擊。這種思考方式與數學家總是問假設是甚麼有關，以返航飛機的彈孔頻率，推斷飛機哪個部位較少中彈，需要假設返航飛機為所有飛機的樣本，這項假設並不正確。
兩項變項的關係不一定是線性的，非線性的思維是指，應該朝哪個方向前進，是應更多還是更少，取決於目前的狀態。例如稅收與稅率的關係是非線性，降低稅率有可能增加稅收，也有可能減少，至於應該是怎樣，需要依靠艱難的實證工作。線性思考也會令線性迴歸的推論出現問題，例如以過往肥胖人口趨勢推論未來，甚至會令某些年後肥胖人口比率超過100%。
國際新聞經常會用到在某國的多少人相當於本國多少人這種比例，但這種方式的問題是，假如用不同地方相比，就會得出不同的數字。而且，有些災難是不能互相比較的，不是一個數比另一個數大的問題。用比例來描述像美國不同州腦癌佔全州人口比例，會發現人口較少的州份較常出現在最高與最低兩端，這與「大數法則」有關，即較小樣本中個別極端情況的比重較大。
作者也提醒要記住以下的口訣︰數字會變負時，免談百分比。因為正負效果會抵消，例如就業職位在某行業會增加，另一行業會減少，使用百分比的話，就會造成「某行業創造職位佔總新增增位175%！」這種混淆的說法。在真實世界的問題，需要知道數字之外的事，作者指，「用一個數除另外一個數僅僅是計算，搞清楚你該用什麼除什麼才是數學。」
「聖經密碼」聲稱聖經蘊藏預言未來的訊息，可以用特定方式來解讀。作者指數學家對此深存懷疑，因為巧合可以是人為創造，例如巴爾的摩經紀人故事中，經紀人向10,240人發信預測股票走勢，一半說會升，一半說會跌，然後向正確的一半再寄信，一半說會升，一半說會跌，如此類推，十次之後會有十個人收到連續十次正確的訊息，好像經紀人真的料事如神。只要樣本夠大，不大可能的是也會發生。此外，聖經密碼的規則也有曖昧空間，使用總是與之吻合的拉比稱呼。假如使用不同的稱呼方式，就會找不到聖經密碼。
不大可能發生的事經常發生，也表示科學論文的統計方法可能會出問題，只看到符合結果的例子，對不符合的例子視而不見。許多科學研究都以p值來排除虛無假設，也就是研究因素沒有造成影響的假設。p值是指假如虛無假設成立，實驗結果這種情況出現的機率是多少。p值少於0.05，即二十次才會有一次，是排除虛無假設的傳統門檻。p值本身並沒有說明研究因素的影響有多大，尤其在醫療上，即使相對風險可能增加一倍，絕對風險可能仍然極低，p值也不能偵測短暫而微小的影響。
作者將以p值少於0.05排除虛無假設的做法稱為「歸渺法」，即︰假設虛無假設為真，在虛無假設為真下，觀察現象出現的可能非常低，但觀察現象的確出現，因此虛無假設不大可能為真。問題是，相當不可能不等於完全不可能，例如六合彩攪珠，每次出現的結果都是相當不可能出現，但某一結果總是會出現的。
當某種現象本身在人口中的機率就極低，通過檢定但實際上沒作用的偽陽性結果，就可能會遠比真陽性結果多。如果科學領域以統計顯著性為研究發表門檻，就會令某次因巧合成功的結果發表，其他相同做法但失敗的結果則無法公開。在政治科學、經濟學、心理學與社會學論文中，p值在0.05附近的研究竟然比其他p值的研究多，表示論文作者很可能刑求數據以取得通過門檻的p值，這對科學本身並無幫助。由p值改用信賴區間在統計方法上是同一回事，但可以顯示區間的效果程度，而在得不到統計顯著結果時，也可以知道是否有證據顯示介入沒有作用，或者搞不清楚介入帶來正向還是負向作用。
貝氏推論是指先以事前機率描述看到證據前的信心，再在看到證據後調整以得出事後機率。事後機率既會受證據影響，也會受事前機率影響。這反映出我們總是以原有知識與信念為準，再以新的證據進行調整。貝氏定理的機率，是指我們相信的程度，而我們會傾向選擇簡單、可以目前知識解釋，而不是複雜、以全新現象才能解釋的理論。我們也要注意能解釋同樣觀察結果的理論可以有很多個。有些問題，例如宗教信仰，作者認為，人們還是最好用非量化的方式處理，數學最好保持沈默。
買彩券時以機率乘上結果價值可得出期望值，這不是指我們期望結果的數值，因為彩券只有贏與輸，期望值是指同樣情況下多次下注，平均會得出的結果。通常彩券的期望值都會比售價低，平均而言會是開辦彩券一方得益。作者對投注美國威力球的建議是︰不要玩；要玩的話，待獎金極高才玩；挑別人不想挑的號碼。
也曾出現彩券期望值比售價高的情況，就像2005年美國麻省的大贏錢樂透。在期望值可加的特性下，在某些情況大量投注大贏錢樂透理論上會有賺頭，的確也有人這樣做。在這些年間，大量投注的玩家賺到錢，形同莊家，開辦樂透的州政府取得獎券稅，輸家則是其他玩家。這情況不是第一次發生，十八世紀早期，伏爾泰就靠鑽彩券空子賺了大錢。
經濟學家會用效用(utility)為生活每件事定價。在實務上，將出錯機率減至零的成本相當大，甚至更勝於獲益，也就是說有時讓錯誤出現比減少錯誤的效用高。效用也有非線性的特性，增加一單位的金錢，並不會與增加的效用成正比，已有金錢越多，增加的效用越少，甚至可能會降至零。作者也指出，預期效用理論無法分析「未知的未知」，也就是不確定性。
越有錢越能夠承擔風險能以預期效用理論來解釋，對於收入微薄的人來說損失例如十萬元就是嚴重效用損失，但對有錢人來說就不大重要。有錢人認為期望值是正值的賭局，在收入微薄的人而言會是負值。把雞蛋放進許多不同的籃子中，是較乏味但有成果的投資方法。
滿足「每一對點都恰屬於一條共有的線」，以及「每一對線都恰包含一個共有的點」兩條幾何公設的理論，後來發展成通訊的數學理論，用於更正通訊時受雜訊干擾的訊息。抵擋雜訊能力與通訊速度此消彼長，這形成通訊通道的容量。利用幾何的公設，更正碼就可以在訊號被雜訊干擾後重構原有訊息。
既然從期望值看玩樂透不是好選擇，為甚麼人們繼續玩？卡尼曼與特弗斯基的前景理論認為，人們通常會偏離效用曲線另尋出路，低機率事件會得到較大權重。更簡單的解釋時，買樂透本身就是小小快樂一下。這也可以與企業家精神類比，縱使成功機會非常小，經營生意的效用本身就是創業主要理由。
身高既受先天也受後天影響，特別高可能是先天與後天因素都發生作用，其子女只遺傳到先天的因素，因此子女雖然很可能都會比平均高，但會比父母矮，這種現象稱為向平均值迴歸。體重、企業表現、棒球員全壘打數目等，都會出現向平均值迴歸的情況。醫學治療與社會政策也應考慮向平均值迴歸，否則有機會將無用的做法誤以為有效。
兩個變項的關係可以用相關這個數字表達。在紀錄不同特徵以辨識個別紀錄時，特徵之間的相關越高，有效的辨識訊息量就越少。由於一個檔案的數位彼此相關度可能頗高，相關也可以用於壓縮資訊，讓數碼檔案儲存在較小的空間。從幾何的角度看，相關就是N維(N=個案數)空間兩個向量的夾角之餘弦(cos)，夾角為0°，餘弦為1；夾角為180°，餘弦為-1；夾角少於90°，兩個變數是正相關，多於90°是負相關，等於90°，相關是0，兩者毫不相干。
相關是不可傳遞的關係，作者指有點像有血緣關係，例如父親與兒子有血緣關係，母親也與兒子有血緣關係，但父母沒有血緣關係。同樣，高濃度「好膽固醇」與降低心血管事件的風險有關，而某些藥能夠有效提升「好膽固醇」濃度，但這並不代表這些藥一定能降低心血管事件風險，當中部份可能會降低心血管事件風險，但部份不會。醫學研究的困難在於，人體極為複雜，可量度的特徵極少，而相關卻不可傳遞，意味著新藥很容易會失敗。
兩項變數不是相關也不代表沒有關係，相關只偵測到線性關係，面對像是U形的關係時，相關無法看出關係。相關也不等於因果，相關既不能指出是否有第三個因素導致相關，也不能指出兩項變數誰是因誰是果。在制定公共政策時，只能做最好的猜測然後下決策，在未完全確定就不作任何建議，原可拯救的性命就會因此喪失。
作者也提醒在非隨機的樣本中找出相關，有機會是統計的幻象，例如在醫院中抽樣，病人總是因為某些病情入院，如果他們不是因為糖尿病入院，高血壓就成為更可能的因素，這樣糖尿病與高血壓就會呈現負相關，但原因不過是所有樣本都是病人。
個人選擇集合起來有時會形成不理性的情況，在選項多於兩個時，例如有ABC三個選項，按總數計有機會出現反對A的人比反對B多，反對B的人比反對C多，反對C的人卻比反對A多這種情況，真正的民意並沒有從數字中反映出來。在兩個選項中再加入一個無關選項，也會令最後結果出現變化。不論是用優先順序計分法，還是排序複選制(IRV)，都有可能出現每個選項在一對一競爭下，輸給其他兩個選項中的一個，這種情況稱為康道塞悖論，即選民偏向A甚於B，但B卻成為選民的選擇，這對B與C亦然。
作者強調，數學並不是少數孤單天才的活動天地，並不是只有最棒的人才值得做數學，而且數學主修生也並不一定需要成為數學家。數學也需要艱苦工作，到最後出現的一瞬間靈感，其實都是之前有意識及無意識工作做好心智準備的結果。總是有人會比自己超前，但即使不是每個人都是高斯，透過通力合作還是令數學得以發展，數學是群體的事業。
作者指，數學提供一條可以不確定的道路，不過是有原則的道路，斷言不確定的原因與程度。追求過份精準是問題，在差別極小的情況下，訊號已經遭雜訊淹沒，真正是甚麼已沒有意義，不應假裝自己知道。作者最後指，數學就是擴充常識的額外手段。
